正在直角三角形 ?AOO ? 中

发布时间:2019-11-21    作者:未知

  第一章 球面几何取球面三角学 第一章 球面几何取球面三角学 球面几何取球面三角学做为数学的一个分支,次要研究球面上图形的性质、球面上由三 个大圆弧所形成的球面三角形及其解算等问题。 球面几何和球面三角学的成长取使用,取天文学、丈量学及帆海学的成长取使用有着密 切的联系,是天文帆海的数学根本。 本章引见取天文帆海相关的球面几何取球面三角学根基学问。 第一节 球面几何 球面几何研究分布正在球面上的图形的性质,其所涉及的部门概念取道理,是进修天文航 海必备的根基学问。 一、球和球面 一个半圆绕其曲径扭转一周所构成的扭转面,称为球面。球面所围成的几何体,称为球, 或称。球内到球面上任一点的距离 都相等的点,称为球心。毗连球心和球 面上任一点的线段,称为球的半径;连 M M 接球面上两点且通过球心的线段,称为 r O’ B A 球的曲径。曲径的长度是半径的两倍, C 且统一的半径或曲径都相等。 d R 正在天文帆海中,近似于扭转椭 的地球, 常被当做加以研究。 此外, Q Q’ 也以模子加以描述。 O 二、球面上的圆 任一平面取球面相截的截痕是一个 圆。 如图 1-1-1 所示, 设 HH 是过球心 O 的平面, 平面 MM 不外球心但平行于平 面 HH , 则平面 MM 和 HH 取半径为 R ? ? N 为圆。 ABC 和 QQ 的球面相截,截痕 ? H N H 图 1-1-1 球面上的圆 图 1 1 天 文 航 海 图 1-1-1 中,设 O? 是过 O 点向平面 MM 所做垂线的垂脚, OA ? R 为球的半径,按照勾 股,正在曲角三角形 ?AOO ? 中,有 O?A ? OA2 ? OO?2 设 OO? ? d , O ?A ? r ,可得 (1-1-1) (1-1-2) r ? R2 ? d 2 阐发图 1-1-1 和式(1-1-2) ,可知: 当平面通过球心 O 时, d ? 0 , r ? R ,平面取球面相截所得的圆最大,称为大圆,如圆 ? ? N 。大圆的圆心即为球心,半径等于球的半径。大圆上的一段圆周,称为大圆弧。 QQ 当平面欠亨过球心 O 时,d ? 0 ,r ? R , 平面取球面相截所得的圆小于大圆, 称为小圆, ? 如圆 ABC 。 d 越大,即平面离球心越远,平面取球面相截所得的小圆越小。 按照大圆的定义,可导出大圆具有如下特征: (1)大圆把球和球面分成相等的两部门;? (2)两个大圆平面彼此等分,其交线既是球的曲径,也是这两个大圆的曲径; (3)过球面上不正在统一曲径两头的肆意两点,仅能做一个大圆; (4)过统一曲径的两个端点,正在球面上能够做无数个大圆。 三、球面距离? 球面上两点间小于 180 ? 的大圆弧(称为劣弧)长,是两点间正在球面上的最短距离,称 AB 的长, AB 为两点间的球面距离。 如图 1-1-2 所示,A 、B 两点的球面距离, 即大圆弧 ? 且取 ? 所对应的球心角 ? AOB 同度。球面距离用大圆弧所对应的球心角( ? 、′、′′)暗示。 P M C D O A O B A B P’ 图 1-1-2 球面距离 图 2 图 3 图 1-1-3 轴、极、极距和极线 第一章 球面几何取球面三角学 四、轴、极、极距和极线? 垂曲于球面上的圆所正在平面的球曲径,称为该圆的轴,轴的两个端点,称为该圆的极。 球面上从极到该圆上任一点的球面距离,称为极距。统一个圆的极距都相等;大圆的极距等 于 90 ? ;极距等于 90 ? 的大圆弧,称为该极的极线。 ? 和大圆 ? AB 的平面,因而, PP ? 既是小圆 如图 1-1-3 所示,曲径 PP ? 同时垂曲于小圆 CD ? 的轴,也是大圆 ? ? 和大圆 ? AB 的轴,其两个端点 P 和 P ? 同是小圆 CD AB 的极。明显,小圆 CD ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB CD 的极距 PC ? PD , P?C ? P?D ;大圆 AB 的极距 PA ? PB ? P?A ? P?B ? 90? ;大圆弧 ? 即 P 或 P ? 的极线。 五、球面角及其怀抱? 球面上两个大圆弧所形成的角,称为球面角。形成球面角的两个大圆弧,称为该球面角 的边,边的交点称为该球面角的极点。如图 1-1-4 所示, ?APB 和 ?AP ?B 为两个球面角。对 ? 和 PB ? 。 球面角 ?APB , P 为极点,两条边别离为大圆弧 PA 球面角的大小用过其极点的两个大圆弧平面所形成的二面角来怀抱的,具体怀抱方式有 以下三种(图 1-1-4) :? AB 来怀抱; (1)用极点的极线被球面角两条边所截的弧长 ? AB 所对应的球心角 ?AOB 来怀抱; (2)用极点的极线被球面角两条边所截的弧长 ? (3)用过极点所做的两个大圆弧的两条切线间的夹角 ?CPD 来怀抱。 P C D E A O E’ B P’ 图 4 图 1-1-4 球面角及其怀抱 3 天 文 航 海 第二节 球面三角学 球面三角学研究球面上由三个大圆弧所形成的球面三角形及其解算方式,是天文帆海的 焦点理论。 一、球面三角形? 球面上由三个大圆弧订交所形成的图形称为球面三角形。形成球面三角形的大圆弧,称 为球面三角形的边;由大圆弧形成的球面角, 称为球面三角形的角。球面三角形的边和 三个角,统称为球面三角形的六个元素。如图 A 1-2-1 所示, 三角形 ?ABC 即球面三角形, 其六 个元素别离为边 a 、 b 、 c 和角 A 、 B 、 C 。 正在球面上,三个大圆弧形成 4 组对称球面 c b O 三角形。帆海上所利用的球面三角形,边和角 均大于 0? 而小于 180? ,称为欧拉球面三角形。 a B 因边和角取值的分歧,球面三角形又可分 C 为肆意球面三角形(如 ?ABC ) 、球面曲角三 角形 (一个或一个以上的角为曲角) 、 球面曲边 三角形(一条或一条以上的边等于 90 ? )和特 殊球面三角形(一个角及其对应的边很小,或 边都很小)等。分歧类型的球面三角形正在 图 1-2-1 图 球面三角形 5 帆海上各具分歧的用处。 二、球面三角形的相等和类似 正在统一球面上或正在半径相等的两个球面上,两个球面三角形的对应边和角别离相等,且 边和角的陈列挨次不异,则称两个球面三角形相等。判断两个球面三角形相等的前提(任一 成当即可)如下: (1)两边及其夹角相等; (2)两角及其夹边相等; (3)三边相等; (4)三角相等。 正在半径分歧的球面上,边角度数对应相等的两个球面三角形,称为类似球面三角形。 三、球面三角形的根基性质 按照定义,可导出球面三角形的根基性质如下: (1)球面三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 4 第一章 球面几何取球面三角学 (2)球面三角形的三边之和大于 0? 且小于 360? ,三角之和大于 180? 且小于 540? ; (3)球面三角形的两角之和减去第三角小于 180? ; (4)若球面三角形的两边相等,则此两边的对角相等;反之,若两角相等,则此两角的 对边相等; (5)球面三角形中,大角对大边;反之,大边对大角。 四、球面三角形中边和角的函数关系 球面三角学的次要使命之一,是研究球面三角形六个元素之间的函数关系,暗示这种关 系的方程称为球面三角公式。正在浩繁球面三角公式中,天文帆海中常用的公式包罗:? 1.边的余弦公式 球面三角形任一边的余弦,等于其余两边余弦的乘积,加上该两边的正弦及其夹角的余 弦的乘积。如图 1-2-1 所示,正在球面三角形 ?ABC 中,边的余弦公式为 ?cos a ? cos b cos c ? sin b sin c cos A ? (1-2-1) ? cos b ? cos a cos c ? sin a sin c cos B ? cos c ? cos a cos b ? sin a sin b cos C ? 边的余弦公式暗示球面三角形的边和一个角之间的关系,可用于已知三边求一角, 或已知两边及其夹角求第三边。 2.正弦公式 球面三角形各边的正弦取其对角的正弦成反比。 如图 1-2-1 所示, 正在球面三角形 ?ABC 中,博盛娱乐 正弦公式为 sin a sin b sin c ? ? sin A sin B sin C (1-2-2) 正弦公式暗示球面三角形的边取其对角之间的关系, 可用于已知两边一对角求另一对角, 或已知两角一对边求另一对边。? 3.余切公式(又称相邻四元素公式、四联公式) 将球面三角形中相联四个元素顺次陈列,正在两头的边、角,叫中边、中角,正在两头的边、 角叫端边、端角,则用球面三角形的余切公式能够写成 cot 端角 sin 中角 = cot 端边 sin 中边 ? cos 中边 cos 中角 (1-2-3) ? ABC 如图 1-2-所示,正在球面三角形 中,余切公式为: cot A sin B ? cot a sin c ? cos c cos B ? ?cotA sin C ? cota sin b ? cos b cos C ? ? ?cotB sin C ? cotb sin a ? cos a cos C (1-2-4) ? ?cotB sin A ? cotb sin c ? cos c cos A ?cotC sin A ? cotc sin b ? cos b cos A ? ? ?cotC sin B ? cotc sin a ? cos a cos B 余切公式暗示球面三角形相联四元素之间的关系,可用于已知相联三个元素,求相联的 另一元素。 5 天 文 航 海 思虑题 1.何为大圆、小圆?大圆取小圆的次要区别是什么? 2.何为球面距离和球面角?两者若何怀抱? 3.何为球面三角形和欧拉球面三角形? 4.球面三角公式有何特点?若何回忆? 5.已知球面三角形 ?ABC 中,边 b ? 100?51.7? , c ? 53?28.0? ,角 A ? 14 ?24.2 ? ,试用球 面三角公式计较边 a 的值。 6.已知球面三角形 ?ABC 中,边 a ? 114?29.2 ? , b ? 69?47.7? ,角 A ? 134?19.3? ,试用 球面三角公式计较角 B 的值。 6